Bastien Laboureix (Adagio) soutiendra sa thèse intitulée “Hyperplans arithmétiques : connexité, reconnaissance & transformations” le 19 juin à 14h en salle A008.
Le monde numérique est parsemé de structures mathématiques discrètes, destinées à être facilement manipulables par un ordinateur tout en donnant à notre cerveau l’impression d’être de belles formes réelles continues. Les images numériques peuvent ainsi être vues comme des sous-ensembles de Z^2. En géométrie discrète, nous nous intéressons aux structures de Z^d et cherchons à établir des propriétés géométriques ou topologiques sur ces objets. Si les questions que nous nous posons sont relativement simples en géométrie euclidienne, elles deviennent beaucoup plus difficiles en géométrie discrète : plus de division, adieu les limites, tout n’est plus qu’arithmétique. Cette thèse est également l’occasion de jongler avec de nombreuses notions élémentaires de mathématiques et d’informatique (algèbre linéaire, anneaux, automates, analyse réelle, arithmétique, combinatoire) pour résoudre des questions de géométrie discrète.
Nous nous intéressons à des structures fondamentales de cette géométrie : les hyperplans arithmétiques. Ceux-ci ont en effet une définition très simple et purement arithmétique : un hyperplan arithmétique est l’ensemble des points entiers situés entre deux hyperplans (réels) affines parallèles. Nous parlons dans cette thèse de trois problèmes portant sur les hyperplans arithmétiques :
– la connexité : un hyperplan arithmétique est-il composé d’un seul morceau ou de plusieurs ? Apport principal de ce manuscrit, nous étendons des résultats déjà connus pour la connexité par faces pour des voisinages quelconques. Si certains phénomènes demeurent dans le cas général, l’explosion combinatoire rend difficile l’adaptation des algorithmes connus pour résoudre le problème. Nous adoptons donc une approche analytique et prouvons des propriétés de connexité en étudiant la régularité d’une fonction.
– la reconnaissance : comment connaître les caractéristiques d’un hyperplan arithmétique ? Problème plus classique de géométrie discrète, avec une littérature très riche, nous proposons pour le résoudre un algorithme de reconnaissance reposant sur l’arbre de Stern-Brocot généralisé. Nous introduisons notamment la notion de corde séparante qui caractérise géométriquement les zones auxquelles appartiennent les paramètres d’un hyperplan arithmétique.
– les transformations douces : comment transformer continûment un hyperplan arithmétique via des translations ou rotations ? Approche discrète des transformations homotopiques, nous caractérisons les mouvements de pixels possibles dans une structure discrète tout en préservant ses propriétés géométriques.
Au-delà de l’étude de ces problèmes et des résultats que nous avons pu obtenir, cette thèse montre l’intérêt d’utiliser des réels, et notamment de l’analyse réelle, pour mieux comprendre les hyperplans arithmétiques. Ces derniers sont en effet caractérisés en grande partie par leur vecteur normal, souvent considéré entier pour obtenir des propriétés de périodicité. Considérer des vecteurs normaux réels quelconques permet de gagner en souplesse, et de faire disparaître les phénomènes de bruit induits par les relations arithmétiques du vecteur. S’ouvrir de nouveau au réel est enfin un moyen de créer des ponts vers d’autres branches des mathématiques, comme la combinatoire des mots ou les systèmes de numération.
Rapporteurs :
• Jacques-Olivier Lachaud, Professeur à l’Université Savoie Mont-Blanc, LAMA
• Yan Gérard, Maître de Conférences à l’Université Clermont-Auvergne, LIMOS
Examinateurs :
• Emilie Charlier, Chargée de travaux à l’Université de Liège, Institut de Mathématiques
• Emmanuel Jeandel, Professeur à l’Université de Lorraine, LORIA
Invités :
• Eric Andres, Professeur à l’Université de Poitiers, XLIM
• Laurent Vuillon, Professeur à l’Université Savoie Mont-Blanc, LAMA
Encadrants :
• Isabelle Debled-Rennesson, Professeure à l’Université de Lorraine, LORIA
• Eric Domenjoud, Chargé de Recherche CNRS, LORIA
