Nathan Claudet, défendra sa thèse intitulée

Équivalences locales des états graphes.

La soutenance aura lieu le lundi 17 Novembre à 9h00 en salle C005 au Loria.
Elle sera suivie d’un pot.

Jury :

– Mamadou Moustapha Kanté (rapporteur), Université Clermont Auvergne
– Robert Raussendorf (rapporteur), Leibniz Universität Hannover
– Xavier Goaoc (examinateur), Université de Lorraine
– Otfried Gühne (examinateur), Universität Siegen
– Elham Kashefi (examinatrice), CNRS
– Mathilde Bouvel (directrice de thèse), CNRS
– Simon Perdrix (directeur de thèse), Inria

Résumé :

Les états graphes forment une vaste famille d’états quantiques qui correspondent de manière bijective à des graphes mathématiques. Les états graphes sont utilisés dans de nombreuses applications, telles que le calcul quantique basé sur la mesure, en tant que ressources intriquées multipartites. Il est donc essentiel de comprendre quand deux états graphes ont la même intrication, c’est-à-dire quand ils peuvent être transformés l’un en l’autre en utilisant uniquement des opérations locales. Dans ce cas, on dit que les états graphes sont LU-équivalents (unitaire locale). Si les opérations locales sont restreintes au groupe de Clifford, on dit alors que les états graphes sont LC-équivalents (Clifford locale). Il est intéressant de noter qu’une règle graphique simple appelée complémentation locale capture exactement la LC-équivalence, dans le sens où deux états graphes sont LC-équivalents si et seulement si les graphes sous-jacents sont liés par une séquence de complémentations locales. Alors qu’il était autrefois conjecturé que deux états graphes LU-équivalents sont toujours LC-équivalents, il existe des contre-exemples et la complémentation locale ne parvient pas à capturer entièrement l’intrication des états graphe.

Dans cette thèse, nous introduisons une généralisation de la complémentation locale qui capture exactement la LU-équivalence. À l’aide de cette caractérisation, nous prouvons l’existence d’une hiérarchie infinie stricte d’équivalences locales entre la LC-équivalence et la LU-équivalence. Cela conduit également à la conception d’un algorithme quasi-polynomial permettant de déterminer si deux états graphes sont LU-équivalents, et à la preuve que deux états graphes LU-équivalents sont LC-équivalents s’ils sont définis sur au plus 19 qubits.

De plus, nous étudions les états graphes qui sont universels dans le sens où tout état graphe plus petit, défini sur un ensemble suffisamment réduit de qubits, peut être induit en utilisant uniquement des opérations locales. Nous donnons des bornes et une construction probabiliste optimale.

Local equivalences of graph states

Abstract:

Graph states form a large family of quantum states that are in one-to-one correspondence with mathematical graphs. Graph states are used in many applications, such as measurement-based quantum computation, as multipartite entangled resources. It is thus crucial to understand when two such states have the same entanglement, i.e. when they can be transformed into each other using only local operations. In this case, we say that the graph states are LU-equivalent (local unitary). If the local operations are restricted to the so-called Clifford group, we say that the graph states are LC-equivalent (local Clifford). Interestingly, a simple graph rule called local complementation fully captures LC-equivalence, in the sense that two graph states are LC-equivalent if and only if the underlying graphs are related by a sequence of local complementations. While it was once conjectured that two LU-equivalent graph states are always LC-equivalent, counterexamples do exist and local complementation fails to fully capture the entanglement of graph states.

We introduce in this thesis a generalization of local complementation that does fully capture LU-equivalence. Using this characterization, we prove the existence of an infinite strict hierarchy of local equivalences between LC- and LU-equivalence. This also leads to the design of a quasi-polynomial algorithm for deciding whether two graph states are LU-equivalent, and to a proof that two LU-equivalent graph states are LC-equivalent if they are defined on at most 19 qubits.

Furthermore, we study graph states that are universal in the sense that any smaller graph state, defined on any small enough set of qubits, can be induced using only local operations. We provide bounds and an optimal, probabilistic construction.