[sujet de thèse] Codage des hyperplans arithmétiques discrets et systèmes de numération

Équipe : ADAGIO

Encadrants : Isabelle Debled-Rennesson et Eric Domenjoud

Résumé

Un hyperplan arithmétique discret H dans ℤⁿ est l’ensemble des points entiers compris entre 2 hyperplans réels parallèles. Formellement c’est l’ensemble H(v,μ,θ) = {x ∈ ℤⁿ | 0 ≤ ⟨v,x⟩+μ < θ} où ⟨.,.⟩ désigne le produit scalaire usuel dans ℝⁿ, v ∈ ℝⁿ\{0} est le vecteur normal, μ ∈ ℝ est le décalage et θ ∈ ℝ est l’épaisseur. Les propriétés topologiques de ces objets, en particulier la connexité, ont été largement étudiées. La notion de connexité est intimement liée à la notion de voisinage d’un point. L’étude de la connexité dans la cas particulier où le voisinage dans ℤⁿ d’un point x est défini comme l’ensemble {y ∈ ℤⁿ | ∥x-y∥₁ ≤ 1} a permis de caractériser complètement en fonction de v, μ et θ les cas où H(v,μ,θ) est connexe. Cette étude a fait apparaître un ensemble particulier de vecteurs normaux pour lesquels H(v,μ,θ) possède des propriétés très particulières. On peut dans ce cas définir un système de numération, appelé Δ-numération, attaché au vecteur normal v.

L’objectif de la thèse est d’une part de généraliser les résultats sur la connexité des hyperplans discrets dans le cas où la notion de connexité est définie à partir d’une notion de voisinage quelconque et d’autre part d’étudier et de formaliser la Δ-numération dans ce cadre général.

Sujet détaillé

Codage des hyperplans arithmétiques discrets et systèmes de numération

 

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